逻辑斯蒂映射的分叉图

逻辑斯蒂映射（Logistic Map）是最简单却也最能展示混沌现象的非线性迭代：

x_{n + 1} = r x_{n} (1 - x_{n})

其中 $r$ 为控制参数， $x \in [0, 1]$ 代表种群数量。不同的 $r$ 会产生截然不同的长期行为。下面的交互组件绘制完整的分叉图，并以竖线标注当前 $r$ 、用亮点标出其吸引子：点击画布上任一横向位置即可设定 $r$ ，观察系统从不动点、周期倍化直至混沌的演化。

x_n+1 = r·x_n(1−x_n)r = 3.300周期 2

完整分叉图（r 从 2.6 到 4.0）。点击画布：按横向位置设定 r，竖线标注当前 r，亮点为其吸引子。

如何阅读这张图

横轴是控制参数 $r$ （取值范围 $2.6 \sim 4.0$ ），纵轴是长期稳定后 $x$ 可能取到的值（吸引子）。
竖线随当前 $r$ 移动，线上的亮点就是该 $r$ 的实际吸引子取值。
对每个 $r$ ，我们从一个初值出发反复迭代，丢弃前段暂态之后，把剩下的 $x$ 全部描成点。
$r$ 较小时所有点收缩为一条线——无论从哪出发，都收敛到同一个不动点。
随着 $r$ 增大，一条线会分裂成两条：系统开始在两值间来回振荡，进入周期 2；随后再次分叉为周期 4、周期 8 …… 这就是周期倍化（period doubling）。
到了 $r \approx 3.57$ 附近，分叉迅速堆积，系统进入混沌：吸引子不再是有限个点，而是一整段连续的带状结构。
混沌区域内又隐藏着许多透明的「窗口」，例如 $r \approx 3.83$ 附近重新出现周期 3 的稳定轨道。

相邻两次分叉的间隔之比趋于一个常数，即 Feigenbaum 常数：

δ = lim_{n \to \infty} \frac{r_{n} - r_{n - 1}}{r_{n + 1} - r_{n}} \approx 4.6692 \dots

奇怪的是，这个 $4.669 \dots$ 对一大类单峰映射都成立，与具体的函数形式几乎无关，是混沌理论中最早的普适性发现之一。

完整分叉图采用密度累积：横轴按像素列切分，每个 $r$ 值反复迭代映射，先丢掉前几百步（暂态）再留下长期行为；把留下的每个 $x$ 投影到纵轴的一列像素并在该处计数，最后把「被访问的次数」换算成亮度——访问次数越多越亮。这样，周期区里被反复访问的少数几个点会非常醒目，而混沌区里铺满整个区间、每个值只偶被访问的点也能累积成一条可见的带；若不累积、每个点等重画出，混沌带会淡到几乎看不见。
对当前 $r$ 自动检测渐近循环的周期（存在微小容差内重复即认为周期），用于显示「不动点 / 周期 $k$ / 混沌」，并叠加竖线与吸引子亮点。