常见泰勒展开式

带拉格朗日余项的泰勒公式：

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$

其中余项 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$，$\xi$ 在 $x_0$ 和 $x$ 之间。

当 $x_0=0$ 时，即为麦克劳林公式。以下是围绕 $x_0=0$ 展开的常见函数麦克劳林级数：

1. $e^x$

   $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$$

   收敛域为 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$。

2. $a^x$

   由 $a^x=e^{x\ln a}$ 可得：

   $$a^x=1+x\ln a+\frac{(x\ln a{)}^2}{2!}+\frac{(x\ln a{)}^3}{3!}+\cdots +\frac{(x\ln a{)}^n}{n!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x\ln a{)}^n}{n!}$$

   收敛域为 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$。

3. $\sin (x)$

   $$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots +\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}+\cdots =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}$$

   收敛域为 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$。

4. $\cos (x)$

   对 $\sin (x)$ 的展开式逐项求导可得：

   $$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots +\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!}+\cdots =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!}$$

   收敛域为 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$。

5. $\frac{1}{1-x}$

   由等比数列求和公式可得：

   $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n,(|x|<1)$$

6. $\frac{1}{1+x}$

   将上式中的 $x$ 替换为 $-x$：

   $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1{)}^n{x}^n+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n,(|x|<1)$$

7. $\ln (1+x)$

   对 $\frac{1}{1+t}$ 的展开式从 $0$ 到 $x$ 逐项积分可得：

   $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n},(-1<x\le 1)$$

8. $\ln (x)$ 在 $x=1$ 处展开

   令 $x=1+t$，利用 $\ln (1+t)$ 的展开式：

   $$\ln (x)=(x-1)-\frac{(x-1{)}^2}{2}+\frac{(x-1{)}^3}{3}+\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}(x-1{)}^n}{n}+\dots ,(0<x\le 2)$$

9. $\arctan (x)$

   将 $\frac{1}{1+x}$ 中的 $x$ 替换为 $t^2$，再从 $0$ 到 $x$ 逐项积分可得：

   $$\arctan (x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1},(|x|\le 1)$$

10. $(1+x{)}^{\alpha }$ (二项式级数)

    $$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+\dots ,(|x|<1)$$

    这可以看作是二项式定理的推广，其中 $\alpha$ 是任意实数。