常见泰勒展开式

带拉格朗日余项的泰勒展开式：

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(x_0)(x-x_0{)}^2}{2!}+...+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n}{n!}+R_n(x)$$

其中$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )(x-x_0{)}^{n+1}}{(n+1)!}$，$\xi \in (x_0,x)$。

常见取$x_0=0$，即麦克劳林公式：

1. 首先是$e^x$：

   $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\frac{x^n}{n!}$$

2. 由$a^x=e^{x\ln a}$，有：

   $$a^x=e^{x\ln a}=1+x\ln a+\frac{(x\ln a{)}^2}{2!}+\frac{(x\ln a{)}^3}{3!}+...\frac{(x\ln a{)}^n}{n!}$$

3. $\sin (x)$利用公式：

   $$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

4. 对$\sin (x)$求导即得$\cos (x)$：

   $$\cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$$

5. 利用等比数列求和，可以得到：

   $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...+x^n$$

6. 将$1-x$替换一下，可以得到$\frac{1}{1+x}$的展开式：

   $$\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=1-x+x^2-x^3+x^4+...+(-1{)}^n{x}^n$$

7. 由$\ln (1+x)={\int }_0^x\frac{1}{1+x}dx$，于是：

   $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+(-1{)}^n\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

8. 将$1+x$替换成$x$，可得：

   $$\ln (x)=\ln (1+(x-1))=(x-1)-\frac{(x-1{)}^2}{2}+...+(-1{)}^n\frac{(x-1{)}^{n+1}}{n+1}$$

9. 还是从6出发，将$x$替换成$x^2$，有：

   $$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8+...+(-1{)}^n{x}^{2n}$$

   而$\arctan (x)={\int }_0^x\frac{1}{1+x^2}dx$，所以有：

   $$\arctan (x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$

10. 比较特别的$(1+x{)}^a$，利用公式或者看成二项式定理的推广都可：

$$(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)x^2}{2!}+\frac{a(a-1)(a-2)x^3}{3!}+...\frac{a(a-1)(a-2)...(a-n+1)x^n}{n!}$$