微积分

MIT微积分公开课^[1][2]学习笔记，课程总体偏向于应用，对理论部分没有太多深入。而且很多是高中内容，可适度跳着看。

导数

基本初等函数的导数

比较精彩的是指数函数和对数函数的部分。

$$\frac{d{a}^x}{dx}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{x+\mathrm{\Delta }x}-a^x}{\mathrm{\Delta }x}=a^x\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}$$

令$M(a)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}$，则$\frac{d{a}^x}{dx}=M(a)a^x$。

INFO

当$x=0,\frac{d{a}^x}{dx}=M(a)$，知$M(a)$是$y=a^x$在$x=0$点的斜率。

令$e$是使$M(e)=1$的数，即$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1$，围绕$e$有如下发现：

1. $y=e^x$的导数仍为$y=e^x$。

2. 定义新函数对数函数$f(x)=log(x)$，若$e^y=x$，则$y=log(x)$。此时所有$y=a^x$可以表示为$y=e^{log(a)x}$（$a^x=(e^t{)}^x，a=e^t，\mathrm{则}t=log(a)$）。 因此可以利用链式法则求$y=a^x$的导数：

   $$y=a^x，y^{\prime }=e^{log(a)x}log(a)=a^{x}log(a)$$

   而$y=log(x)$则可以利用隐函数求导：

   $$e^y=x，e^{y}dy=dx，y^{\prime }=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}$$

3. 欲求$y=f^g$，其中$f$和$g$均是关于$x$的基本初等函数，利用隐函数求导法则：

   $y=f^g$, 两边取对数$log(y)=glog(f)$，此时左右两边都是基本初等函数，有$\frac{y^{\prime }}{y}=g^{\prime }log(f)+\frac{g}{f}，y^{\prime }=f^g(g^{\prime }log(f)+\frac{g}{f})$，当$f(x)=g(x)=x$时，即$x^x$，其导函数为$x^x(log(x)+1)$。

4. 欲求$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$，令$\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{n}$，有：

   $$\begin{array}{rl}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(1+\mathrm{\Delta }x{)}^{\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}}& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{e}^{log((1+\mathrm{\Delta }x{)}^{\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}})}\\ & =e^{\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}log((1+\mathrm{\Delta }x{)}^{\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}})}\\ & =e^{\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}log(1+\mathrm{\Delta }x)}\\ & =e^{\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}(log(1+\mathrm{\Delta }x)-log(1))}\\ & =e^1\\ & =e\end{array}$$

   如此提供了一种近似计算$e$的值的方法。

INFO

GS老爷子的微积分先导课程提到另一种定义指数函数的方法：

微积分本质是一种研究两个函数关系的科学。有这样一组关系$\frac{dy}{dx}=y$，假设我们已知$y$在$x=0$时等于$1$，则可以定义满足这个微分方程的函数$y=e^x$。并且从这个方程可以推出$e^x$的“表达式”：

从$x=0$时$y=1$得到$\frac{dy}{dx}=1$，为使$y$求导得到$1$，我们要在$y$中添加一个$x$得到$y=1+x$，于是$\frac{dy}{dx}=1+x$，为了得到这个$x$，我们又要在$y$中添加一个$\frac{1}{2}{x}^2$，于是$y=1+x+\frac{1}{2}{x}^2$，为了得到这个$\frac{1}{2}{x}^2$，我们又要在$y$中添加$\frac{1}{6}{x}^3$……如此得到一个无限的式子，其第$n$项为$\frac{1}{n!}{x}^n$。

利用$e^x$的展开式还可以得到$e^x{e}^y=e^{x+y}$的性质，相乘观察相同次数的项即可。

线性近似

导数的定义，$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}$，知$\mathrm{\Delta }x\to 0\mathrm{时}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{有}{f}^{\prime }(x_0)\approx \frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}$。利用切线值近似函数的值，在$x_0$处的切线为$y-x_0=k(x-x_0)$，即$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$，若$x_0=0$，则$x\to 0$，有$f(x)\approx f(0)+f^{\prime }(0)x$。可以用来在现实中快速计算一些$f(x)$的值。例如：

$f(x)$	$f^{\prime }(x)$	$f(0)$	$f^{\prime }(0)$	$f(x)\approx$
$sin(x)$	$cos(x)$	$0$	$1$	$x$
$e^x$	$e^x$	$1$	$1$	$1+x$
$ln(x+1)$	$(x+1{)}^{-1}$	$0$	$1$	$x$

由第三个式子可以进一步推出令$u=x+1,x=u-1$, 则当$u\to 1$时，$ln(u)\approx u-1$。和我们将$u_0=1$带入$f(u)\approx f(u_0)+f^{\prime }(u_0)(u-u_0)$得到的结果是一致的。

一个计算$y=(1+\frac{1}{x}{)}^x$的例子，其中$x\to \mathrm{\infty }$。两边取对数，$log(y)=xlog(1+\frac{1}{x})=\frac{1}{k}log(1+k)\approx \frac{1}{k}k=1$，知当$x\to \mathrm{\infty }$时，$y$近似等于$e$。

有些时候，可能需要计算二阶近似来获得更接近的值，$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2}(x-x_0{)}^2$。例如$cos(x)$，由$f(0)=1，f^{\prime }(0)=0$发现一阶线性近似为$1$，但更多时候我们还是希望保留小角度$x$，于是有二阶近似$cos(x)\approx 1-\frac{1}{2}{x}^2$。更高阶的近似即更高阶的泰勒展开式。

INFO

二阶近似也可以给我们另一种视角来看待最大最小值问题（与导数、导数变化率的视角相对），$\mathrm{\Delta }f\approx f^{\prime }(a)\mathrm{\Delta }x+\frac{1}{2}{f}^{″}(a)\mathrm{\Delta }{x}^2$，当切线水平时$f^{\prime }(a)=0$，而$\mathrm{\Delta }{x}^2\ge 0$，于是$\mathrm{\Delta }f$的变化完全由$f^{″}(a)$决定。

牛顿法

欲求$x^2=5$，可以令$y=x^2-5$，即求$y=0$。思路是将曲线看成是线性的，选取一个离目标较近的点，求出曲线在该点切线与x轴的交点，即为下一步的选择，重复这个过程可以得到一个比较接近的解。 由$y-f(x_0)=m(x-x_0)$，选取点$x_n$，有$0-f(x_n)=m(x-x_n)$，则下一个选点$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_0)}$（或者直接利用线性近似理解$x-a\approx -\frac{f(a)}{f^{\prime }(a)}$，$a$即上一个选取的$x_n$）。在这个具体的例子中，若初始选择的点为2，下一个点为2.25，再一个约为2.23611，而$\sqrt{5}$实约为2.23606，已经非常接近了。

MVT

若$f(x)$在$a<x<b$上可导并且在$a\le x\le b$上连续，则$a\sim b$上必存在一点$c$使得$f(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。可导意味着图像平滑没有尖角，否则就会像图中第二条曲线那样，找不到满足条件的$c$点了。

洛必达法则

对于$f(a)=g(a)=0$型的极限，有$li{m}_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)/(x-a)}{g(x)/(x-a)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}$，要求右侧极限存在且$g^{\prime }(a)\ne 0$。洛必达法则对于$a=\pm \mathrm{\infty }$、$f(a)、g(a)=\pm \mathrm{\infty }$、右侧极限为$\pm \mathrm{\infty }$的场景也成立。本质上讲洛必达法则刻画的是函数变化的速度。

积分

FTC1

根据FTC1，若$F^{\prime }=f$，有${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，即$\mathrm{\Delta }F={\int }_a^{b}f(x)dx$，两边同时除以$\mathrm{\Delta }x$，有$\frac{\mathrm{\Delta }F}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}{\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$，右边表示的是$f$的平均值。$\mathrm{\Delta }F=Avg(F^{\prime })\mathrm{\Delta }x$，可想而知它大于$F_{min}^{\prime }\mathrm{\Delta }x$，小于$F_{max}^{\prime }\mathrm{\Delta }x$（在$a<x<b$上）。

举例来说，$F^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}，F(0)=1$，利用MVT我们可以判断出$A<F(4)<B$的$A、B$值：$F(4)-F(0)=F^{\prime }(c)(4-0)=\frac{1}{1+c}4$，其大于$\frac{1}{1+0}4$，小于$\frac{1}{1+4}4$，利用这里的思想，$F(4)-F(0)={\int }_0^4\frac{dx}{1+x}$，其大于${\int }_0^4\frac{1}{5}dx=\frac{4}{5}$，小于${\int }_0^4\frac{1}{1+0}dx=4$。两者表述的意思是等价的，这种表述的几何意义，是积分区域的面积小于大矩形的面积，大于小矩形的面积：

FTC2

如果$f$连续，可以基于$f$定义新的函数$G(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$，其中$a$是常量，并且有$G^{\prime }(x)=f(x)$。注意这里的积分是针对$t$来积的，$x$不过是其积分上限，也就是说积分时将$x$视为常量对$t$积分后得到一个式子，用$x$带入计算得到关于$x$的表达式。

INFO

FTC2还可以这样理解：$G(x)$是微分方程$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=f\\ y(a)=0\end{array}$的解。

看图像理解证明比较简单，$\mathrm{\Delta }G\approx \mathrm{\Delta }xf(x)$，若$f$连续，有$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }G}{\mathrm{\Delta }x}=f(x)$。证明了FTC2进一步可证明FTC1，不妨设$f(x)$的原函数是$F(x)$，由$G^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)$，有$G(x)=F(x)+c$，则$F(b)-F(a)=(G(b)+c)-(G(a)+c)=G(b)-G(a)={\int }_a^{b}f(x)dx$。

FTC2使得我们拥有了一种新的定义函数的手段，例如定义函数$L(x)$满足：$L^{\prime }(x)=\frac{1}{x}，L(1)=0$，我们完全可以将这个作为对数函数的定义。甚至是一些无法用基本初等函数表达的函数（transendental function），例如若某函数$G(x)$满足$G^{\prime }(x)=e^{-x^2}，G(0)=0$，这个导数是积不出来的，现在我们都知道该导数其实就是正态分布密度函数的原型。$G(x)$正无穷方向的渐近线是$y=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$。

暂时忘掉以前学的对数函数的定义，利用这里定义的对数函数$L(x)$我们也可以总结出$L(x)$的一些性质，例如$L(ab)=L(a)+L(b)$，即${\int }_1^{ab}\frac{dt}{t}={\int }_1^a\frac{dt}{t}+{\int }_a^{ab}\frac{dt}{t}$，显然这里的重点在于证明$L(b)={\int }_1^b\frac{dt}{t}={\int }_a^{ab}\frac{dt}{t}$，可以利用换元的思想得到：设$u=at$，则$du=adt$，当$t=1$时，$u=a$，当$t=b$时，$u=ab$，从而${\int }_1^b\frac{dt}{t}={\int }_a^{ab}\frac{du}{u}$。

另外一些积不出来但可以利用这种思想定义的函数如$C(x)={\int }_0^{x}cos(t^2)dt$、$S(x)={\int }_0^{x}sin(t^2)dt$、$H(x)={\int }_0^x\frac{sin(t)}{t}dt$等。以及著名的黎曼函数$Li(x)={\int }_2^x\frac{dt}{ln(t)}$，可以用来估计小于$x$的质数个数。

分部积分法

由$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+v^{\prime }u$，有$\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$。例如对$lnx$的积分，可以选取$u=lnx，v=x$，则$\int lnxdx=xlnx-\int \frac{1}{x}xdx=xlnx-x+C$。

反常积分

${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(a)dx=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{N}f(x)dx$。若极限存在，积分结果收敛，或者说积分的面积有限。

有时不好判断积分结果是否收敛，这时可以利用从洛必达法则中带来的思想，如果在$x\to \mathrm{\infty }$处$f(x)/g(x)\to 1$，那么${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$和${\int }_a^{\mathrm{\infty }}g(x)dx$（对于一个足够大的$a$）要么都收敛，要么都发散。

直线与平面

对非零点$N=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$与原点构成的向量，可以唯一确定一个平面，使得$N$与该平面垂直，从而平面上的任意一点与原点构成的向量$P=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$与$N$垂直，有$P^{T}N=0$，得到平面的方程$ax+by+cz=0$。如果平面不是过原点而是过另一不与$N$相同的点$P_0=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right]$，则平面上的向量可以表示为$P-P_0$，有$(P-P_0{)}^{T}N=0$，得平面方程$ax+by+cz=d$，其中$d$是关于$x_0、y_0、z_0$的常量。观察这两个平面，$d$可以被看作是将第一个平面平移距离的度量，类比二维的情形，其实就是“截距”。如果要判断某点在平面哪一侧，可以将该点带入平面方程左侧，得到的“截距”与$d$相比较即可。

直线除了可以看作是两个平面方程的交集之外，还可以用参数方程的方式定义：给定两个点$Q_0=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right]，Q_1=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right]$，一个点$Q_0$确定位置，一个向量$\overrightarrow{Q_0{Q}_1}$确定方向，从而直线上任一点与$Q_0$组成的向量都可以看作是该向量的倍数。有$\overrightarrow{Q_{0}Q(t)}=t\overrightarrow{Q_0{Q}_1}$：

$$\left[\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\\ z-z_0\end{array}\right]=t\left[\begin{array}{c}{x}_1-x_0\\ y_1-y_0\\ z_1-z_0\end{array}\right]$$

写成$Q(t)=Q_0+t\overrightarrow{Q_0{Q}_1}$的形式：

$$\begin{array}{c}x(t)=x_0+t(x_0-x_1)\\ y(t)=y_0+t(y_0-y_1)\\ z(t)=z_0+t(z_0-z_1)\end{array}$$

INFO

对于以两平面交线方式给出的方程如$L=\{\begin{array}{l}x+2y+3z=4\\ x+3y+3z=5\end{array}$，如何将其与参数方程的形式关联起来呢？通过线代课程的学习我们可以求出方程系数矩阵$A$的零空间向量$x_n=\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right]$和一个特解$x_p=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right]$，从而得到解的一般形式$x=x_p+t{x}_n$，这正是直线的参数方程，零空间向量即上面的向量$\overrightarrow{Q_{0}Q(t)}$，特解即上面的$Q_0$。（$A{x}_n=0$其实就是$x_n$与两平面法向量垂直，无数可选的$Q_0$点对应了无数的特解）。这里的例子是一个行满秩列不满秩矩阵，如果两个平面平行，则它们的法向量平行，则$A$各行线性相关，行不满秩，从而方程有$0$解（平行且不重合）或无数解。

对于常见的$3\times 3$矩阵，若$Ax=0$只有零解即矩阵可逆，说明找不到一个向量同时与三个平面的法向量垂直，此时三个平面的交集只有一点，或者说三个法向量不在一个平面上，可以正交化为三个标准基向量，而反之的情况就比较多了。

假设两不重合直线交于一点$O=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right]$，可以唯一确定一个平面（切平面）使得它们都在平面上。这时可分别取两直线上与$O$不同的一点$A$、$B$，利用平面上任意点与其法向量垂直，$\overrightarrow{OP}\cdot (\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB})=0$解出平面方程。例如若$O$在$z=f(x,y)$上，如果有$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=a$，$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=b$，即在固定$x_0$或$y_0$的情况下给出了相应切线的斜率，从而确定了两条切线的方程$L_1=\{\begin{array}{l}z=z_0+a(x-x_0)\\ y=y_0\end{array}$，$L_2=\{\begin{array}{l}z=z_0+b(y-y_0)\\ x=x_0\end{array}$，为了计算的方便可取$L_1$上的点$A=\left[\begin{array}{c}0\\ y_0\\ z_0-a{x}_0\end{array}\right]$和$L_2$上的点$B=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ 0\\ z_0-b{y}_0\end{array}\right]$，解出切平面的方程$z-z_0=a(x-x_0)+b(y-y_0)$，或者理解成线性近似$\mathrm{\Delta }z=f_x(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y$。

INFO

如图，二元用切平面近似曲面，解出切平面方程可得$\mathrm{\Delta }z=z_x\mathrm{\Delta }x+z_y\mathrm{\Delta }y$。我们将$\mathrm{\Delta }z$方向上的变化解耦成了两个相互正交的分量$\mathrm{\Delta }x$和$\mathrm{\Delta }y$上的变化的组合。

:::

开普勒第二定律

相同时间内行星扫过的面积相同，设半径为$\overrightarrow{r}$，有$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{\mathrm{\Delta }r}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}|\mathrm{\Delta }t$。也就是说$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}$与$t$无关，$\frac{d}{dt}(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v})=0$，而$\frac{d}{dt}(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v})=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}\times \overrightarrow{v}+\overrightarrow{r}\times \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{v}+\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{a}=0$。所以这个表述等价于说$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{a}=0$，即$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{r}$平行，而行星受到的引力也确实总是径向的。

Critical Points

由上面对切平面的讨论，如果$f_x=f_y=0$切平面变为水平，但这时还不足以判断切点是最大值、最小值还是鞍点。与单变量的方法类似，这时需要借助二阶导数$f_{xx}$、$f_{xy}(=f_{yx})$和$f_{yy}$，判别式$f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}{f}_{yx}$：

1. 若$f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}{f}_{yx}>0$，则：
   • 若$f_{xx}>0（\mathrm{或}{f}_{yy})$，则取得局部最大值；
   • 若$f_{xx}<0$取得局部最小值；
2. 若$f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}{f}_{yx}<0$，鞍点；
3. 若$f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}{f}_{yx}=0$无法判断，可以代值进去。

同样可以利用线性近似的方法理解这个判别式，利用泰勒展开时，注意一阶线性近似由于$f_x=f_y=0$为$0$，因此需要二阶近似，$\mathrm{\Delta }f\approx f_x\mathrm{\Delta }x+f_y\mathrm{\Delta }y+\frac{1}{2}{f}_{xx}\mathrm{\Delta }{x}^2+f_{xy}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y+\frac{1}{2}{f}_{yy}\mathrm{\Delta }{y}^2$，通过配方可以得到相同的结果（其实就是根的判别式）。

梯度向量

将$\frac{dw}{dt}=w_x\frac{dx}{dt}+w_y\frac{dy}{dt}+w_z\frac{dz}{dt}$理解为两个向量相乘$\mathrm{\nabla }=\left[\begin{array}{ccc}{w}_x& w_y& w_z\end{array}\right]$，$\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{dr}}{dt}=\left[\begin{array}{c}\frac{dx}{dt}\\ \frac{dy}{dt}\\ \frac{dz}{dt}\end{array}\right]$，这个$\mathrm{\nabla }$就称为梯度向量。

由于$\overrightarrow{v}$在曲面上该点的切平面内，而$\mathrm{\nabla }\perp \overrightarrow{v}$对任意的$\overrightarrow{v}$都成立，故$\mathrm{\nabla }$与该点的切平面垂直。对于平面方程$w(x,y,z)=ax+by+cz=d$，显然$\mathrm{\nabla }=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$，正是我们用来定义平面的法向量$N$。对于二元的情况如$f(x,y)=x^2+y^2$，等高线$f(x,y)=c$是以原点为圆心的圆，而$\mathrm{\nabla }=\left[\begin{array}{c}2x\\ 2y\end{array}\right]$，即半径所在的直线。

WARNING

一直二维三维傻傻分不清楚的我：为什么$f(x,y)$的图像画成三维曲面，但梯度向量却不是该图像的切平面法向量而是水平的，而$w(x,y,z)$经常画出来的图像也是三维的（其实是取了$w=c$），其梯度向量又是切平面法向量了☕。

应用：求曲面上任一点的切平面

对于曲面方程$x^2+y^2-z^2=4$，欲求其在点$P=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right]$处的方程，一种方式我们可以利用线性近似$\mathrm{\Delta }w\approx f_x\mathrm{\Delta }x+f_y\mathrm{\Delta }y+f_z\mathrm{\Delta }z$，当趋近于$P$时$\mathrm{\Delta }w\to 0$，有$0=4(x-2)+2(y-1)-2(z-1)$；另一种方式利用$\mathrm{\nabla }$，在$P$处的$\mathrm{\nabla }=\left[\begin{array}{c}4\\ 2\\ -2\end{array}\right]$，这是切平面的法向量，可立即得到平面方程$4(x-2)+2(y-1)-2(z-1)=0$。

方向导数

用力的分解也许好理解一点。梯度给了我们对该点处曲线有多陡的直观感受，如果沿着梯度的方向，无论施加的力多大都无法实现在曲面上（等高线上）的移动（因为梯度向量与该处切平面垂直），而如果我们偏离一个角度，从而这个力在梯度方向上的分力不产生位移，带来加速度的是与梯度方向垂直方向的分力。用一个单位向量$\overrightarrow{u}$表示力的方向，方向导数${\frac{dw}{ds}}_{|\overrightarrow{u}}=\mathrm{\nabla }w\overrightarrow{u}=|\mathrm{\nabla }w|cos(\theta )$表示的是力在梯度方向上的分解，当垂直的时候方向导数为$0$而沿着等高线切线方向的分力最大。

拉格朗日数乘法

在某些问题中，要求$f(x,y,z)$在一个约束条件$g(x,y,z)=c$下的最大最小值。如果画出两曲面的等高线图会发现在取得极值处两等高线相切，或者这样理解：类比无约束情况下取极值处有$df=0$，这里只有在沿着$g=c$等高线的方向上$df=0={\frac{df}{ds}}_{|\overrightarrow{u}}=\mathrm{\nabla }f\overrightarrow{u}$（“沿着”的意思是相切，即等高线的切线方向），同时$dg=dc=0=\frac{dg}{ds}={\frac{dg}{ds}}_{|\overrightarrow{u}}=\mathrm{\nabla }g\overrightarrow{u}$。从而有$\mathrm{\nabla }f=\lambda \mathrm{\nabla }g$，联立方程$\{\begin{array}{l}{f}_x=\lambda g_x\\ f_y=\lambda g_y\\ f_z=\lambda g_z\\ g(x,y,z)=c\end{array}$可解。

非独立变量

另一种方法看待有$g(x,y,z)=c$约束的极值问题，$g$可以变型为$z=z(x,y)$。在固定$y$的情况下解出$(\frac{\partial f}{\partial z}{)}_y$：

1. 利用微分：

   $df=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz=f_{x}dx+f_{z}dz$，为了消去$dx$，利用约束条件$dg=g_{x}dx+g_{y}dy+g_{z}dz=0$，有$dx=-\frac{g_x}{g_z}dz$，从而$df=(-f_x\frac{g_z}{g_x}+g_z)dz$，括号中的部分即$(\frac{\partial f}{\partial z}{)}_y=-f_x\frac{g_z}{g_x}+g_z$。

2. 利用链式法则：

   $(\frac{\partial f}{\partial z}{)}_y=\frac{\partial f}{\partial x}(\frac{\partial x}{\partial z}{)}_y+\frac{\partial f}{\partial y}(\frac{\partial y}{\partial z}{)}_y+\frac{\partial f}{\partial z}(\frac{\partial z}{\partial z}{)}_y=\frac{\partial f}{\partial x}(\frac{\partial x}{\partial z}{)}_y+0+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot 1=f_x(\frac{\partial x}{\partial z}{)}_y+g_z$，同理由$(\frac{\partial g}{\partial z}{)}_y=0$可解出$(\frac{\partial x}{\partial z}{)}_y=-\frac{g_z}{g_x}$，带入第一个式子得到与微分法相同的结果。

WARNING

$f(x,y)=x+y$，有$\frac{\partial f}{\partial x}=1$，如果换元$x=u,y=u+v$得到$\frac{\partial f}{\partial u}=2\ne \frac{\partial f}{\partial x}$。为什么$x=u$但偏微分项不等？这是因为保持不变的量不一样：$(\frac{\partial f}{\partial x}{)}_v\ne (\frac{\partial f}{\partial x}{)}_y$。

二重积分

雅可比矩阵

二重积分$dV={\iint }_{R}f(x,y)dA$可以看成是求$z=f(x,y)$与其正下方平面区域$R$的体积。$dA=dxdy$，如果将$x、y$换元为$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$，那么新的$d{A}^{\prime }$需要确定。

依然利用微分：

$du=u_{x}dx+u_{y}dy$、$dv=v_{x}dx+v_{y}dy$，如图所示，知$dudv=det(\left[\begin{array}{cc}{u}_x& v_x\\ u_y& v_y\end{array}\right])dxdy=(|\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right]|)dxdy$。这里得到的矩阵即雅可比矩阵。

以极坐标系$x=rcos\theta$，$y=rsin\theta$为例，$dx=x_{r}dr+x_{\theta }d\theta =cos\theta dr+r(-sin\theta )d\theta$，$dy=y_{r}dr+y_{\theta }d\theta =sin\theta dr+rcos\theta d\theta$，知$d{A}^{\prime }=(rco{s}^2\theta +rsi{n}^2\theta )drd\theta =rdrd\theta$，和我们从图形中得到的结果是一致的。

向量场

$\overrightarrow{F}=M\overrightarrow{i}+N\overrightarrow{j}$，其中$M=M(x,y),N=N(x,y)$，即在平面的每一处我们有一个与位置有关的力$\overrightarrow{F}$。

做功与曲线积分

对一个小方向上的位移$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$，$W=(\text{force})\cdot (\text{distance})=\overrightarrow{F}\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$。从而全过程的做功通过将全轨迹累加得到，这是一种“line integral”：

$$W={\int }_C\overrightarrow{F}d\overrightarrow{r}(=\underset{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}\to 0}{lim}\sum _i\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{r_i})$$

INFO

力只有在位移的方向上才有功，所以是一个内积的关系。想想也是，如果力与位移方向垂直，这个力不做功。

为了求解，注意$C$是关于时间$t$的参数方程，有${\int }_C\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}={\int }_{t_1}^{t_2}(\overrightarrow{F}\cdot \frac{d\overrightarrow{r}}{dt})dt$。实际上我们选择的参数化方式对积分结果没有影响，参数化只是一种解释问题的视角。

由$\overrightarrow{F}=\left[\begin{array}{c}M\\ N\end{array}\right]$，$d\overrightarrow{r}=\left[\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right]$，有${\int }_C\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}={\int }_{C}Mdx+Ndy$。

Gradient Field

如果$Mdx+Ndy$恰好是一种全微分形式，从而$M$和$N$是某一隐函数$f$的偏微分，$M=M(x,y)=f_x(x,y),N=N(x,y)=f_y(x,y)$。这时$\overrightarrow{F}$就成了该函数的梯度向量$\overrightarrow{F}=\mathrm{\nabla }f=\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\end{array}\right]$。

INFO

由$M=f_x$，$N=f_y$，有$M_y=N_x=f_{xy}$，利用这个性质可以判断是不是gradient field。但是要求$\overrightarrow{F}$在平面上每一点处都可微，或者在一个单连通区域内部。

在gradient field中，有对应的FTC：

当力使物体从$P_0$运动到$P_1$时，${\int }_C\mathrm{\nabla }f\cdot d\overrightarrow{r}=f(P_1)-f(P_0)$。由${\int }_C\mathrm{\nabla }f\cdot d\overrightarrow{r}={\int }_{t_0}^{t_1}(f_x\frac{dx}{dt}+f_y\frac{dy}{dt})dt={\int }_{t_0}^{t_1}\frac{df}{dt}dt=[f(x(t),y(t)){]}_{t_0}^{t_1}$可证。$f$就是功的计量，这个积分可以被理解为物体从$P_0$移动到$P_1$力所做的功等于力使物体从另外某处$P$移动到$P_1$，减去从$P$移动到$P_0$所作功的差值。

进一步推出有关gradient field的两个特性：

1. 路径无关性：如果轨迹$C_1$、$C_2$具有相同的起点和终点，从而积分结果相同（做功相同）；
2. 保守性：如果是闭合轨迹，则积分结果为$0$（先做正功，再做负功，或者反过来，总之最后啥也没干）。

物理意义

If the force field $\overrightarrow{F}$ is the gradient of a potential $f$, then work of $\overrightarrow{F}$ = change in value of potential.

如果向量场$\overrightarrow{F}$是势$f$的梯度，则保守力$\overrightarrow{F}$的做功等于势能的变化。没有额外的能量能够从闭合的轨迹上被”释放“。

Conservativeness means that energy comes from change in potential f, so no energy can be extracted from motion along a closed trajectory (conservativeness = conservation of energy: the change in kinetic energy equals the work of the force equals the change in potential energy).

仅对gradient field有四个等价的表述：

1. 如果对任意闭合轨迹$C$有${\int }_C\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=0$，则$\overrightarrow{F}$是保守的；
2. $\int F\cdot d\overrightarrow{r}$是路径无关的（相同的终点相同做功，与路径无关）；
3. $\overrightarrow{F}$是一个gradient field有$\overrightarrow{F}=\mathrm{\nabla }f=f_x\overrightarrow{i}+f_y\overrightarrow{j}$；
4. $Mdx+Ndy(=f_{x}dx+f_{y}dy=df)$是一个全微分（exact differential）形式。

通过令$C_1=C_2，C=C_1-C_2=0$可知(1)和(2)是等价的。(3)利用FTC可推出(2)，同时也是寻找隐函数的一种方式：如果具备路径无关性质，可以通过${\int }_{(0,0)}^{(x,y)}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}$求$f(x,y)$，一般利用相互正交的两段轨迹$dx=0$，$dy=0$简化计算。另一种求隐函数的方式是由$f_x$得到$f(x,y)=\int f_{x}dx+g(y)$，然后利用$f_y$来求$g(y)$。(3)和(4)只不过是同一种说法的不同表现形式。

旋度和散度

旋度$curl(\overrightarrow{F})=N_x-M_y$，旋度是力所带来扭矩（torque）的度量，可以类比速度：

• 在平移运动中，$\frac{\text{Force}}{\text{Mass}}=\text{acceleration}=\frac{d}{dt}(\text{velocity})$；
• 在旋转变换中，$\frac{\text{Torque}}{\text{Moment of inetia}}=\text{angular acceleration}=\frac{d}{dt}(\text{angular velocity})$。

散度$div(\overrightarrow{F})=P_x+Q_y$，应用格林公式并替换$M=-Q$和$N=P$可证${\oint }_C\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}ds={\iint }_{R}div(\overrightarrow{F})dA$，$\overrightarrow{n}$是$f(x,y)$法向量。散度是发散度的度量，可以描述一个向量场的点是汇聚点还是发散点。

INFO

一些个人理解：

如图，$z=f(x,y)$是对势能的刻画，$\overrightarrow{F^{\prime }}$如果不是$z$的梯度向量（注意$\overrightarrow{F}$不是图中三维曲面的梯度向量，而是一个固定的势$z$平面与该曲面相截所得二维曲面的梯度向量。假定物体初始动能为0，这个势$z$是系统的初始能量），那么会存在一个额外的分量（图中红色向量$\overrightarrow{N}$）。这时即使物体在闭合回路上走了一遭回到了起点，势能不变，$\overrightarrow{N}$所做的功却不为0，它实际上改变了物体的动能，使物体产生角速度。用物理学的话说，物体所受的合力$\overrightarrow{F^{\prime }}$可以被分解为保守力$\overrightarrow{F}$和非保守力$\overrightarrow{N}$，保守力做功带来势能变化，非保守力带来动能变化。

在三维情况下，势$w=w(x,y,z)$其实是一个“等势体”了。

从可汗学院盗的图：

$dr=dx\overrightarrow{i}+dy\overrightarrow{j}$，为了得到法向量$\overrightarrow{n}$可以进行顺时针旋转，注意$\overrightarrow{n}$要取成单位向量，有$\overrightarrow{n}=\frac{dy\overrightarrow{i}-dx\overrightarrow{j}}{|dr|}$，而$|dr|=ds$，因此有$\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}ds=\overrightarrow{F}\cdot (dy\overrightarrow{i}-dx\overrightarrow{j})$。因此点乘的结果为$Pdy-Qdx$，由格林公式，（旋转后的$\overrightarrow{n}ds$就相当于$\overrightarrow{r}$，旋转使得$\overrightarrow{F}=N\overrightarrow{i}-M\overrightarrow{j}=P\overrightarrow{i}+Q\overrightarrow{j}$），有${\oint }_{C}Pdy-Qdx={\iint }_R\frac{\partial P}{\partial x}-(-\frac{\partial Q}{\partial y})dA=={\iint }_{R}div(\overrightarrow{F})dA$。此处格林公式说明了通过区域边界的量与区域内部散度的关系。

格林公式

如果$R$是被一个正向（使得所包围区域总是在自己左侧的方向）闭合曲线$C$包裹起来的区域，有：

$${\oint }_C\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}={\iint }_{R}curl(\overrightarrow{F})dA$$

或者写成：

$${\oint }_{C}Mdx+Ndy={\iint }_R(N_x-M_y)dA$$

可以用来将复杂的曲线积分简化为简单的二重积分或反之。例如拿它来证明gradient field的性质：

定理：如果$\overrightarrow{F}=M\overrightarrow{i}+N\overrightarrow{j}$在平面上处处连续且可微，那么$N_x=M_y$可推出$\overrightarrow{F}$是保守的，也即$\overrightarrow{F}$是一个gradient field.

由$N_x=M_y$，${\oint }_C\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}={\iint }_{R}curl(\overrightarrow{F})dA={\iint }_{R}0dA=0$，得证。

证明

1. 定理其实可以分成两个部分${\oint }_{C}Mdx=-{\iint }_R{M}_{y}dA$和${\oint }_{C}Ndy={\iint }_R{N}_{x}dA$；
2. 首先观察到如下事实，如右上角图所示，如果将$R$划分成$R_1,R_2,R=R_1\cup R_2$两个部分，两个部分的包裹曲线分别为$C_1$和$C_2$，有${\oint }_C=\oint C_1+\oint C_2$，这是因为中间的那段各自方向相反，相互抵消了。

从而我们可以在$R$中划出图中阴影区域，这个区域外围的轨迹可以分为四个部分$C_1,C_2,C_3,C_4$，其中$C_2,C_4$由于$dx=0$，有${\int }_{C_2}Mdx={\int }_{C_4}Mdx=0$，有：

$$\text{LHS: }{\oint }_C={\int }_{C_1}+{\int }_{C_3}={\int }_a^{b}M(x,f_0(x))dx-{\int }_a^{b}M(x,f_1(x))dx$$

式中$f_0(x)$和$f_1(x)$即沿着$C_1$和$C_3$的两条曲线，课程notes上写成了$C_1$和$C_2$应该是不对的。同时注意到沿着$C_3$时$x$是从$b$到$a$的，所以要负号。有：

$$\text{RHS: }-{\iint }_R{M}_{y}dA=-{\int }_a^b{\int }_{f_0(x)}^{f_1(x)}{M}_{y}dydx=-{\int }_a^b(M(x,f_1(x))-M(x,f_0(x))dx=\text{LHS}$$

由于所有的区域都可以被划分为这样一个个小的区域，将它们相加在一起后，左边就是外围曲线$C$的积分，右边则是整个区域$R$的积分，${\oint }_{C}Mdx=-{\iint }_R{M}_{y}dA$。同理用水平的方式去划分区域，可以证明${\oint }_{C}Ndy={\iint }_R{N}_{x}dA$，从而证明了格林公式。

除了告诉我们曲线积分可以转化为曲面积分，反过来格林公式也告诉我们区域面积可以用曲线积分求得${\oint }_{C}xdy={\iint }_{R}1dA$。

单连通区域

讨论来源于对$\overrightarrow{F}=\frac{-y\overrightarrow{i}+x\overrightarrow{j}}{x^2+y^2}$的计算，$C$是一个逆时针的单位圆，可以算出${\oint }_C\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=2\pi$，而${\iint }_{R}curl(\overrightarrow{F})dA=0$，不满足格林公式。原因在于区域内包含了$0$点，而在这一点上$\overrightarrow{F}$是无定义的。

但也不是完全没有办法，我们可以把没有定义的这块挖掉，如下图，则有${\oint }_C\overrightarrow{F}d\overrightarrow{r}-{\oint }_{C^{\prime }}\overrightarrow{F}d\overrightarrow{r}={\iint }_{R^{\prime }}curl(\overrightarrow{F})dA$：

直观点说单连通区域就是个中间没有洞的区域，上面的图像看起来中间有个大洞，但如果将轨迹作为区域边界的话，它无疑是没有洞的。

三重积分

和二重积分基本类似，$\nabla$算子可以只当作是一个辅助记忆的符号。

---

1. https://www.bilibili.com/video/av34481507 ↩︎

2. https://www.bilibili.com/video/BV1nt411d7bu ↩︎