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齐次坐标（Homogeneous coordinates）

如果只用2*2矩阵，会发现无法表示二维平移这种基本变换，因此人们想到了引入一个额外的维度，约定：

这样平移变换可表示为：

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]

点和向量的加减产生了四种运算，进一步说明上面的“约定”不是空穴来风：

点减去点，运算的结果是向量，含义就是从一个点（减数）指向另一个点（被减数）的向量，如下图左上角 $[\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}]$ ；
点与向量运算，运算的结果是点，含义其实是从该点走向量到另一个端点，如下图右上角 $[\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 8 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}]$ ；
向量与向量运算，运算的结果是向量，含义是将两向量首尾相连，没有连起的另一首和尾组成的新向量，如下图中部 $[\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]$ ；
点加上点？我们发现相加后额外的维度值变成了2，为了让额外的维度值保持为1，人为约定下，我们约定 $[\begin{matrix} x \\ y \\ w \end{matrix}]$ 代表的是 $[\begin{matrix} x / w \\ y / w \\ 1 \end{matrix}]$ 。根据这个约定，两点相加得到的是两者的中点。

有了齐次坐标，我们就可以把几个基本的变换都用一个矩阵表示：

缩放 scale 矩阵： $S (s_{x}, s_{y}) = [\begin{matrix} s_{x} & 0 & 0 \\ 0 & s_{y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ ；
（绕原点）旋转 rotate 矩阵： $R (α) = [\begin{matrix} \cos α & - \sin α & 0 \\ \sin α & \cos α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ ，一种简单的方法是代入特殊点推出矩阵各项的值；
平移 translate 矩阵： $T (t_{x}, t_{y}) = [\begin{matrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ 。

线性变换加上平移变换合称为仿射变换（affine transformation）。具体来说，线性变换使得我们能够计算类似的表达式： $x^{'} = a x + b y + c z$ ，仿射将其拓展至 $x^{'} = a x + b y + c z + d$ 。

同时复杂的变换可以分解为若干小变换依次完成，问题规约为矩阵分解、求逆、乘法等。举个例子，绕点c旋转，可以先把对象平移到原点 $T (- c)$ ，然后旋转 $R (α)$ ，再还原回去 $T (c)$ ，整个变换矩阵 $E = T (c) R (α) T (- c)$ 。